贝叶斯个性化排序(BPR)算法小结

作者:刘建平Pinard

贝叶斯个性化排序(Bayesian Personalized Ranking, 以下简称BPR),它也用到了矩阵分解,但是和funkSVD家族却有很多不同之处。下面我们来详细讨论。

1. BPR算法使用背景

在很多推荐场景中,我们都是基于现有的用户和商品之间的一些数据,得到用户对所有商品的评分,选择高分的商品推荐给用户,这是funkSVD之类算法的做法,使用起来也很有效。但是在有些推荐场景中,我们是为了在千万级别的商品中推荐个位数的商品给用户,此时,我们更关心的是用户来说,哪些极少数商品在用户心中有更高的优先级,也就是排序更靠前。也就是说,我们需要一个排序算法,这个算法可以把每个用户对应的所有商品按喜好排序。BPR就是这样的一个我们需要的排序算法。

2. 排序推荐算法背景介绍

排序推荐算法历史很悠久,早在做信息检索的各种产品中就已经在使用了。最早的第一类排序算法类别是点对方法(Pointwise Approach),这类算法将排序问题被转化为分类、回归之类的问题,并使用现有分类、回归等方法进行实现。第二类排序算法是成对方法(Pairwise Approach),在序列方法中,排序被转化为对序列分类或对序列回归。所谓的pair就是成对的排序,比如(a,b)一组表明a比b排的靠前。我们要讲到的BPR就属于这一类。第三类排序算法是列表方法(Listwise Approach),它采用更加直接的方法对排序问题进行了处理。它在学习和预测过程中都将排序列表作为一个样本。排序的组结构被保持。

本文关注BPR,这里我们对排序推荐算法本身不多讲,如果大家感兴趣,可以阅读李航的A Short Introduction to Learning to Rank.
http://times.cs.uiuc.edu/course/598f13/l2r.pdf

3. BPR建模思路

在BPR算法中,我们将任意用户 u 对应的物品进行标记,如果用户 u 在同时有物品 i 和 j 的时候点击了 i ,那么我们就得到了一个三元组 < u , i , j > ,它表示对用户 u 来说,i 的排序要比 j 靠前。如果对于用户 u 来说我们有 m 组这样的反馈,那么我们就可以得到 m 组用户 u 对应的训练样本。

既然是基于贝叶斯,那么我们也就有假设,这里的假设有两个:一是每个用户之间的偏好行为相互独立,即用户 u 在商品 i 和 j 之间的偏好和其他用户无关。二是同一用户对不同物品的偏序相互独立,也就是用户 u 在商品 i 和 j 之间的偏好和其他的商品无关。为了便于表述,我们用 >u 符号表示用户 u 的偏好,上面的 < u , i , j > 可以表示为:i >u j 。

在BPR中,这个排序关系符号 >u 满足完全性,反对称性和传递性,即对于用户集 U 和物品集 I :


同时,BPR也用了和funkSVD类似的矩阵分解模型,这里BPR对于用户集U和物品集I的对应的 U× I 的预测排序矩阵,我们期望得到两个分解后的用户矩阵 W ( |U| × k ) 和物品矩阵 H( |I| × k ),满足


这里的k和funkSVD类似,也是自己定义的,一般远远小于 |U| , |I| 。

由于BPR是基于用户维度的,所以对于任意一个用户 u ,对应的任意一个物品 i 我们期望有:


最终我们的目标,是希望寻找合适的矩阵 W , H,让和 X 最相似。读到这里,也许你会说,这和funkSVD之类的矩阵分解模型没有什么区别啊? 的确,现在还看不出,下面我们来看看BPR的算法优化思路,就会慢慢理解和funkSVD有什么不同了。

4. BPR的算法优化思路

BPR 基于最大后验估计 P ( W , H| >u )来求解模型参数 W , H , 这里我们用 θ 来表示参数W和 H, >u 代表用户 u 对应的所有商品的全序关系,则优化目标是 P ( θ | >u )。根据贝叶斯公式,我们有:


由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关,那么对于任意一个用户u来说,P( >u )对所有的物品一样,所以有:


这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集D有关,第二部分和样本数据集D无关。

对于第一部分,由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立,同一用户对不同物品的偏序相互独立,所以有:


其中,


根据上面讲到的完整性和反对称性,优化目标的第一部分可以简化为:


而对于P ( i >u j |θ ) 这个概率,我们可以使用下面这个式子来代替:


其中,σ(x)是sigmoid函数。这里你也许会问,为什么可以用这个sigmoid函数来代替呢? 其实这里的代替可以选择其他的函数,不过式子需要满足BPR的完整性,反对称性和传递性。原论文作者这么做除了是满足这三个性质外,另一个原因是为了方便优化计算。





注意上面的这个式子也不是唯一的,只要可以满足上面提到的当 i >u j 时,,以及对应的相反条件即可。这里我们仍然按原论文的式子来。

最终,我们的第一部分优化目标转化为:


对于第二部分P(θ),原作者大胆使用了贝叶斯假设,即这个概率分布符合正太分布,且对应的均值是0,协方差矩阵是 λ θ I ,即

P( θ )∼N ( 0 , λ θ I )

原作者为什么这么假设呢?个人觉得还是为了优化方便,因为后面我们做优化时,需要计算lnP( θ ),而对于上面假设的这个多维正态分布,其对数和 ||θ||2 成正比。即:

lnP( θ ) = λ ||θ||2

最终对于我们的最大对数后验估计函数


这个式子可以用梯度上升法或者牛顿法等方法来优化求解模型参数。如果用梯度上升法,对θ求导,我们有:


由于


这样我们可以求出:


有了梯度迭代式子,用梯度上升法求解模型参数就容易了。下面我们归纳下BPR的算法流程。

5. BPR算法流程

下面简要总结下BPR的算法训练流程:  

输入:训练集D三元组,梯度步长 α , 正则化参数 λ , 分解矩阵维度 k 。          

输出:模型参数,矩阵 W , H

1. 随机初始化矩阵 W , H

2. 迭代更新模型参数:


3. 如果 W , H 收敛,则算法结束,输出 W , H ,否则回到步骤 2 .

当我们拿到 W , H 后,就可以计算出每一个用户 u 对应的任意一个商品的排序分:,最终选择排序分最高的若干商品输出。

6. BPR小结

BPR是基于矩阵分解的一种排序算法,但是和funkSVD之类的算法比,它不是做全局的评分优化,而是针对每一个用户自己的商品喜好分贝做排序优化。因此在迭代优化的思路上完全不同。同时对于训练集的要求也是不一样的,funkSVD只需要用户物品对应评分数据二元组做训练集,而BPR则需要用户对商品的喜好排序三元组做训练集。

在实际产品中,BPR之类的推荐排序在海量数据中选择极少量数据做推荐的时候有优势,因此在某宝某东等大厂中应用也很广泛。

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