图形变换之基本矩阵变换

1）平移变换

从一个位置到另一个位置的变换可以用平移矩阵T表示，该矩阵通过向量 t = ( t_x , t_y , t_z ) 对实体进行平移操作。

其实还有另外一种形式（以左手坐标系为基准）：

第一种形式（以右手坐标系为基准的）进行变换时将T与需要变换的点或向量 A（列向量）相乘，即 TA 。第二种形式（以左手坐标系为基准）将需要变换的点或向量（行向量）与T相乘，即 AT 。

平移矩阵的逆矩阵为 T^-1( t ) = T( -t )，也就是对向量t进行了置负操作。

2）旋转变换

旋转矩阵 R_x(Θ)、R_y(Θ)、R_z(Θ)分别表示将物体绕 x , y , z 轴进行旋转。

注意，旋转矩阵表示物体是绕着指定轴（轴的指向朝外面）按顺时针方向旋转的，但这个形式的旋转矩阵是以右手坐标系为基准的。

左手坐标系的为：

旋转矩阵的推导可以看这里：http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996

任意轴旋转任意角度矩阵：

对于这个3x3矩阵来说，其对角元素之和是一个与坐标轴无关的常数，称其为迹（Trace）：tr( R ) = 1+2cosΘ

矩阵R的逆矩阵就是其转置矩阵，还有其他获取其逆矩阵的方法，即将 Θ 取负（绕着同一 坐标轴朝相反方向旋转）。旋转矩阵的行列式总是等于1.

3）缩放矩阵

s_x , s_y , s_z 分别表示沿着 X Y Z 轴进行缩放的缩放比例。S矩阵的逆矩阵为 S^-1( s ) = S ( 1/s_x , 1/s_y , 1/s_z ) 。

如果对缩放矩阵 s 的一个或者三个分量置负，就会产生一个反射矩阵（镜像矩阵），如果其中两个缩放因子为 -1，那么将旋转180度，当发现变换矩阵是反射矩阵时，需要进行特殊处理，例如，一个三角形的顶点序列以逆时针方向排列时，在经过反射矩阵变换后，对得到一个顺时针方向排列的三角形顶点序列，这将导致不正确的光照效果和背面裁减。判断给点矩阵是否为反射形式，需要计算该矩阵左上部 3 x 3 矩阵行列式的值，如果为负，那么该矩阵就为反射矩阵。

4）错切变换

错切矩阵有6种基本形式，分别表示为H_xy(s)、H_xz(s)、H_yx(s)、H_yz(s)、H_zx(s)、H_zy(s). 第一个下标表示由错切矩阵改变的坐标，第二个下标表示进行错切操作的坐标。

通过下标可以找到参数s所在的位置。如本例中 x = 0 , z = 2 。

错切矩阵的逆矩阵可以通过取负来取得 ( H_ij )^-1( s ) = H_ij( -s )

5) 刚体变换

刚体变换用于刚性物体的变换，只改变物体的方向和位置，不改变形状。可以将刚体矩阵 X 写成一个平移矩阵和一个旋转矩阵的级联：

X的逆矩阵可以这样求得：X^-1 = ( T ( t ) R )^-1 = R^-1T( t )-1 = R^TT( -t ).

6) 法线变换

注意，法线必须通过用变换几何图形的矩阵的逆矩阵的转置矩阵进行变换 N = ( M^-1 )^T

实际应用中，如果变换矩阵是正交的（如旋转矩阵），就没必要计算它的逆矩阵，因为正交矩阵的逆矩阵就是转置矩阵，两个转置矩阵相互抵消，相乘的结果还是原来的旋转矩阵。此外，还有平移矩阵，由于平移不改变向量的方向，所以可以进行任意次数的平移而不对法线产生任何影响。另外，如果使用一个或多个一致性缩放矩阵进行变换，也不需要计算相应的逆矩阵，因为这种缩放只改变法线长度，不影响其方向。这种矩阵进行变换之后需要对法线进行归一化（规范化）。

本文转自：博客园 - （廉江宏）朴者，转载此文目的在于传递更多信息，版权归原作者所有。