简介
滤波也许可以说是图像处理和计算机视觉最基础的操作。术语”滤波“最宽泛的理解，即滤波后的图像在某一指定位置的像素值是输入图像在同一位置的 某邻域内的所有像素值的函数。例如，高斯低通滤波计算这个邻域内所有像素值的一个权重平均值，其中权重随着距离邻域中心越远而减小。虽然权重下降的正式和 定量解释容易获知，但是直觉是图像在尺度空间上的变化将是非常缓慢的，因此相邻的像素将会拥有接近的值，并且这种操作近似于平均他们自身。破坏邻域内像素值的噪声与信号的互相关性是极低的，所以这种操作给在保留信号的同时去除噪声。
较弱的空间变化的假定将会在边缘处失效，这是由于边缘也被线性低通滤波模糊了。我们如何在平均平滑区域的同时而防止跨越边缘的平均呢？在减少这个不期望的效应方面已有许多工作。
双边滤波器是一个边缘保留平滑的简单的、非迭代的的方案。
思路
保边去噪。空间域位置越远的影响越小（为了去噪，也就是一种模糊纹理的方式），值域相差越大的影响越小（为了保留边沿）。
考虑一个应用于图像的具有移位不变性的低通空域滤波器：
黑体f和h表示强调输入和输出图像都是多频带的。为了保留直流分量，可以得到
范围滤波器类似定义：
在这种情况下，上面的核测量像素间的光度测定的相似性。归一化的常量为
图像密度的空间分布在范围滤波中不起任何作用。然而，组合整幅图像的密度将是无意义的，因为远离位置x的图像值不应该影响位置x的最终值。额外的，不含空域滤波的范围滤波将仅仅影响图像的颜色表，因此极少使用。近似的解决方案是组合空域和范围滤波器，从而强制执行几何度量和光学度量区域。
组合滤波器可被表示为：
归一化
组合的空域和范围滤波器被表示为双边滤波器。它使用位置x的相似和相近像素值的平均值来替代原值。在平滑区域，小邻域内的像素值都是互相似的，这时双边滤波器等同于一个标准的空域滤波器。
考虑一个在黑色区域和白色区域间的强的边缘，如图1(a)
结果，滤波器使用邻域内的白色值的平均值替代中心处的白色像素，同时忽略黑色像素。相反的，当滤波器中心位于黑色像素时，白色 像素将会被忽略。如图1(b)展示的那样，好的滤波行为由于空域滤波将会在边界处实现，同时由于范围滤波鲜明的边缘同时会被保留。
高斯案例
双边滤波器的一个简单且非常重要的例子就是移位不变性的高斯滤波器，其中相近函数c和相似函数s都是参数的欧式距离的高斯函数。特别的，c是对称的：
其中
是欧几里德距离。相似函数s非常类似于c：
其中
在密度空间上是一个合适的距离测量方法。在标量的情况下，这也许是像素的简单的差的绝对值，或者由于随着密度的增加噪声也会增加，它的一个密度 相关的版本。就像空域滤波器是移位不变性一样，上面介绍的高斯范围滤波器在图像密度的增量变化情况下是不敏感的。当然，范围滤波器也具有移位不变性。
黑白图像应用实验
图2(a)和(b)显示了双边滤波器用于纹理去除的能力。图2(b)直观的展示了双边滤波器在不丢失图像整体形状特征的同时减少数据开销，而这种特征可用于图像传输，图像编辑和操作，图像检索描述等。
使用参数分别为sd=3和sr=50 的双边滤波器作用于图3(a)生成图3(b)。注意到大部分纹理细节已能被去除，同时轮廓却和原图一样的鲜明。图3(c)截取了图3(a)的一个细节，图 3(d)显示对应的滤波后的图像。这两个洋葱拥有图形的表面，同时细节被去除。然而，整体形状被保留，这是由于很好的位于空域滤波器的频带内，同时基本不 受范围滤波器的影响。而且，洋葱的形状边界被保留。
彩色图像应用实验
对于黑白图像而言，任意两个灰度值间的密度仍然是灰度值。因此，当使用标准低通滤波器平滑黑白图像时，产生了跨越边缘的中间灰度级，以及图像模 糊。而对于彩色图，由于任意两种颜色间会存在完全不同的颜色，因此一种额外的复杂度伴随而生。例如，蓝色和红色间会存在粉色和紫色等。因此，作用于颜色时 分布的彩色频带便产生了。平滑后的图像并不仅仅看起来是模糊了，同时会呈现看起来怪怪的而且物体周围有光环的感觉。
图4(a)展示一幅面背景为蓝色天空的红色夹色的细节。即使在未被模糊的情况下，一条粉紫线仍会被清晰的看到。这是由于光晕模糊和像素平均导致 的。事实上，位于边界的像素，当投影到背景场景中时，红色夹色会和蓝色天空进行交集运算，其结果颜色就是红色和蓝色的平均值。当应用平滑时，如图4(b) 显示的那样，粉此线会加宽。
为了解决这个困难，边缘保留平滑应该单独作用于图像的红、绿、蓝成分。然而，边缘处的密度分布通常是不一样的。如图4(c)显示的那样，单独作用于三个通道将会产生比原图更严重的粉色和紫色频带效果。粉紫频带并不像图4(b)那样的标准模糊后的加宽结果。
一个更好的方案可以通过双边滤波器解决。实际上，双边滤波器允许近似的组合三个颜色通道，并且测量在组合空间上的光度距离。更重要的是，这个组 合后的距离能对应于CIE-Lab空间上欧几里德距离的感知不相似性。这个颜色空间是基于人类观察与心理物理颜色感知的匹配实验。在这个空间上，小的欧氏 距离对应于更强的颜色颜色差异感知，从正常的人类观察的角度。因此，一个场景中，对于彩色图像，双边滤波器在CIE-Lab空间的操作是最自然的类型：仅 处理感知上最相似的颜色，仅保留感知上最重要的边缘。图4(d)显示了图4(a)应用双边滤波器的结果。其中粉色明显缩减，同时没有额外的颜色产生。
图5(c)显示了图5(a)应用双边滤波器5次迭代的结果。一次处理通常能产生更比原图更好的结果，如图5(b)，这对于大多数的图像处理需求 往往是足够的，多次迭代能产生图像的平面着色效果，同时不模糊边缘。结果图像拥有更小的颜色表，并且双边滤波器的效应能在打印图像中更加容易的看到。注意 图5(c)中具有类似卡通的效果。所有的阴影和边缘被保留，大多数的阴影被去除，并且滤波器没有产生新的颜色。
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原文链接：http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/MANDUCHI1/Bilate...
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