全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程

demi 在周四, 10/18/2018 - 17:17 提交

全局照明（Global Illumination）问题上已经有很多著名的算法，如路径追踪（Path Tracing），辐照度（Radiosity）等。绝大部分书籍/教材都直接介绍了做法，在理论方面有所欠缺（比如算法的正确性）。这段时间在看《Advanced Global Illumination》，大呼爽快，所以做了这些笔记。

一、方向和立体角

立体角（Solid Angle）是平面角的推广。如上图，考虑一块不规则的曲面，其在单位球体（球心在原点，半径 r = 1）上的投影为曲面 A ，则 A 的面积 S 为该曲面对应的立体角Ω。根据定义易知，任何包含原点的球体对应的立体角都为 4π 。如果用球坐标 ( θ φ, ) 来刻画立体角，那么其微分 dw 可以被表示为

此外，根据立体角的定义，可以给出任何曲面元对应立体角的计算公式——
全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程

其示意图如下：

二、Radiance的定义

考虑密度函数 p ( x , t , w, λ )，它给出在时空坐标 ( x , t ) 处单位体积内沿方向 w 、波长为 λ 的光子的数量。那么给定位置 x₀ 、时间 t₀ 、方向 w₀ = ( θ₀ φ₀, ) 以及波长 λ₀ ，容易知道单位时间内沿方向 dw 通过面元全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程的、波长在 [ λ₀ , λ₀ + dλ ] 间的光子的能量为

其中全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程是这些光子的速度。在波长范围 [λ_start , λ_end ]、全体立体角 Ω 、曲面 A 上对 d³φ 积分得

这就是曲面 A 上的辐射通量（Flux）的定义。

类似地，定义辐射照度（Irradiance）为

辐射强度（Intensity）为
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以及辐射亮度（Radiance）——
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这几个量间有以下关系：
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三、Radiance的守恒性质

从 L 的定义可知，Radiance是空间位置和方向的函数可以写作，表示从空间位置 X 出发、朝向的Radiance。（类似地，( x → y ) 表示空间位置 x 处朝方向的Radiance）若 x 与 y 间没有遮挡，则有以下重要性质成立：

L ( x → y ) = L ( y → x )
证明：
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如上图，由Radiance的定义有
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其中 d²φ 是从 dA_x 出发向 dA_y 发射的能量。根据能量守恒，它们必定都被 dA_y 接收，即
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又由立体角的性质

代入得

整理即得 L ( x → y ) = L ( y → x ) 。

四、以Radiance来量度传感设备响应

摄像机、人眼等感光设备所得到的光的量度可以用Radiance来衡量，而非Flux等。由此可以得出一些结论，比如一个明亮的物体随着观察者距离的增加不会显得更暗，这是因为在光的传播过程中Radiance不随距离改变。

五、BRDF

一束光照射到某个表面上，反射的效果随着表面的材质有所不同。譬如，理想的镜子会把所有的入射光反射到某个特定的方向，而在其他方向上的反射光为0；理想的Lambertian表面会把入射光往所有的方向均匀地反射。反射光在不同方向上的多少分布，再结合入射光的方向所构成的函数，称为bidirectional reflectance distribution function（BRDF），记作，表示沿方向照射到 x 处的光在方向上的分布。准确地说：

并非所有的物体表面的反射都能用BRDF来建模，譬如通透的玉石（入射光可以从某一处进入玉石内部，然后从另一处穿出）等。一个把透明物体的表面纳入考虑的函数叫做bidirectional scattering distribution function（BSDF），它描述了所有方向的入射光和出射光的分布；Bidirectional surface scattering reflectance distribution function（BSSRDF）则更加强大（使用起来也更为困难），它可以描述前面提到的通透的玉石对光的作用。在这里，为了简化问题，假设所有的物体表面都使用BRDF描述。

六、BRDF的几个性质

由BRDF的性质可知，某不透明的、不发光的表面上某一点 x 处朝的Radiance是此点反射外来光的结果，可表示为