LSTM模型与前向反向传播算法

在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中,我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题,因此很难处理长序列的数据,大牛们对RNN做了改进,得到了RNN的特例LSTM(Long Short-Term Memory),它可以避免常规RNN的梯度消失,因此在工业界得到了广泛的应用。

下面我们就对LSTM模型做一个总结。

1. 从RNN到LSTM

在RNN模型里,我们讲到了RNN具有如下的结构,每个序列索引位置t都有一个隐藏状态 h(t)


如果我们略去每层都有的 o(t) , L(t) , y(t) ,则RNN的模型可以简化成如下图的形式:


图中可以很清晰看出在隐藏状态 h(t) 由 x(t) 和 h(t−1) 得到。得到 h(t) 后一方面用于当前层的模型损失计算,另一方面用于计算下一层的 h(t+1)

由于RNN梯度消失的问题,大牛们对于序列索引位置 t 的隐藏结构做了改进,可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来,来避免梯度消失的问题,这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种,这里我们以最常见的LSTM为例讲述。

LSTM的结构如下图:


可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多,真佩服牛人们怎么想出来这样的结构,然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题?由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题,我也不是很熟悉,这里就不多说,重点回到LSTM的模型本身。

2. LSTM模型结构剖析

上面我们给出了LSTM的模型结构,下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

从上图中可以看出,在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态 h(t) ,还多了另一个隐藏状态,如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State),记为 C(t)

如下图所示:


除了细胞状态,LSTM图中还有了很多奇怪的结构,这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门,输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门,输入门和输出门以及细胞状态。

2.1 LSTM之遗忘门

遗忘门(forget gate)顾名思义,是控制是否遗忘的,在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。

遗忘门子结构如下图所示:


图中输入的有上一序列的隐藏状态 h(t−1) 和本序列数据 x(t) ,通过一个激活函数,一般是sigmoid,得到遗忘门的输出 f(t) 。由于sigmoid的输出 f(t) 在[0,1]之间,因此这里的输出 f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为:


其中 Wf , Uf , bf 为线性关系的系数和偏倚,和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

输入门(input gate)负责处理当前序列位置的输入,它的子结构如下图:


从图中可以看到输入门由两部分组成,第一部分使用了sigmoid激活函数,输出为 i(t) ,第二部分使用了tanh激活函数,输出为 a(t) ,两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为:


其中 Wi , Ui , bi , Wa , Ua , ba , 为线性关系的系数和偏倚,和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前,我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态 C(t) 。我们来看看从细胞状态 C(t−1) 如何得到 C(t)

如下图所示:


细胞状态 C(t) 由两部分组成,第一部分是 C(t−1) 和遗忘门输出 f(t) 的乘积,第二部分是输入门的 i(t) 和 a(t) 的乘积,即:


其中,⊙为Hadamard积,在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态 C(t) ,我们就可以来看输出门了,子结构如下:


从图中可以看出,隐藏状态 h(t) 的更新由两部分组成,第一部分是 o(t) , 它由上一序列的隐藏状态 h(t−1) 和本序列数据 x(t) ,以及激活函数sigmoid得到,第二部分由隐藏状态 C(t) 和tanh激活函数组成, 即:


通过本节的剖析,相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然,有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同,但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态 h(t) , C(t) ,模型参数几乎是RNN的4倍,因为现在多了 Wf , Uf , bf , Wa , Ua , ba , Wi , Ui , bi , Wo , Uo , bo 这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为:

1)更新遗忘门输出:


2)更新输入门两部分输出:


3)更新细胞状态:


4)更新输出门输出:


5)更新当前序列索引预测输出:


4. LSTM反向传播算法推导关键点

有了LSTM前向传播算法,推导反向传播算法就很容易了, 思路和RNN的反向传播算法思路一致,也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数,关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

在RNN中,为了反向传播误差,我们通过隐藏状态 h(t) 的梯度 δ(t) 一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态 h(t) 和 C(t) 。这里我们定义两个δ,即:


为了便于推导,我们将损失函数L(t) 分成两块,一块是时刻t位置的损失 l(t) ,另一块是时刻t之后损失 L(t+1) ,即:




整个LSTM反向传播的难点就在于这部分的计算。仔细观察,由于 h(t) = o(t) ⊙tanh( C(t) ) , 在第一项 o(t) 中,包含一个h的递推关系,第二项 tanh( C(t) )就复杂了,tanh函数里面又可以表示成:


tanh 函数的第一项中,f(t) 包含一个h的递推关系,在tanh函数的第二项中,i(t) 和a(t) 都包含h的递推关系,因此,最终这部分的计算结果由四部分组成。即:


5. LSTM小结

LSTM虽然结构复杂,但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系,进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法,这些有算法库帮你搞定,模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过,理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

参考资料:
1) Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen
2)Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville
3) UFLDL Tutorial
4)Understanding-LSTMs

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本文转自:博客园 - 刘建平Pinard,转载此文目的在于传递更多信息,版权归原作者所有。

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