机器学习之一些基本概念及符号系统

1. 一些基本概念

训练集(Training Set):为了研究一个变量(x)与另一个变量(y)的关系,而通过观察、测量等方式获得的一组数据。这组数据中收集了x和与之对应的y——一个数据对(x, y)。例如我们要研究房屋面积(x)和售价(y)之间的关系,每观察一套已出售的房屋,就得到一个数据对(x, y)。观察10套已出售的房屋,就可以得到10个这样的数据对,这时就得到了一个用来研究房屋面积和售价之间的关系的训练集了(虽然样本量比较小)。这些数据集一般采集自现实环境中,属于现象(我们的目的是透过现象看本质)。

样本(Sample):训练集中采集数据的对象就是一个样本,例如一套已出售的房屋。

模型(Model):由于某些历史原因,机器学习中的模型也被叫做假设(hypothesis, h),这个h就是我们透过现象想要寻找的"本质"。建立模型的过程通常就是确定一个函数表达式的过程(是否还记得寒假作业中的这类题目:观察一组数,写出下一个数是什么?)。最常见的模型是回归模型(线性回归或逻辑回归等),例如我们假设房屋面积与售价之间的关系是一个线性回归模型,则可以写成:
h(θ)=θ0+θ1x…(1)h(θ)=θ0+θ1x…(1)
其中h是函数(可能更习惯叫做y,但在机器学习中y一般表示已知的函数值,即后面的因变量;这里的h相当于预测得到的y),θ是函数的参数(也可以看做是每个自变量的权重,权重越大,对y的影响也越大),x是自变量。

训练模型(Training Model):选定模型(选择合适的模型需要丰富的经验)后,函数的一般形式就确定了。通常所说的训练模型是指利用训练集求解函数的待定参数的过程。上面的(1)式与直线方程的一般形式y = ax + b是相同的,这里不过换了一种写法。此时我们知道模型是一条直线,为了确定这条直线的确定方程,我们需要求出两个未知的参数——θ0(截距)和θ1(斜率),如果训练集中只有两个样本,那就只是求一个二元二次方程组就解决问题了。

特征(Feature):特征就是在一个模型中,所有想研究的自变量(x)的集合。例如我们在研究房屋售价的模型中,所有可能影响售价的因素都可以看成是一个特征,房屋面积、所在城市、房间个数等。在建立模型的过程中,特征的选择是一个大学问,甚至有专门的分支来研究特征选择或特征表示。

机器学习之一些基本概念及符号系统
图1. 机器学习的基本过程

2. 训练集的表示

上面提到过,训练集就是许多的(x, y)数据对的集合。其中x是因变量,y是自变量。通常认为x的变化引起了y的改变,即x的值决定了y的值。在预测房屋价格的模型中,假如我们能找到所有影响房屋价格的因素(所有的x),并且确定各个因素准确的参数(θ),那么理论上可以准确的预测出任何房屋的价格(y)。

2.1 单因素训练集中自变量的表示方法

单因素相当于方程中只有一个自变量,这个自变量可以用一个小写字母x来表示;
如果收集了多个样本,则通过在右上角添加带括号的角标的方式区分,表示为x(1), x(2), ..., x(m),其中m表示样本的个数;
矩阵的表示:向量一般用小写字母表示,矩阵用大写字母表示。所有单因素样本中的x可以用一个m x 1(m行1列)的列向量x(小写字母)(只有一列的矩阵就是一个列向量)来表示:

x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜x(1)x(2)⋮x(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟x=(x(1)x(2)⋮x(m))

2.2 多因素训练集中自变量的表示方法

多因素相当于方程中有多个自变量(多个feature),不同的自变量之间使用右下角添加不带括号的角标来区分,表示为x1, x2, ..., xn,其中n表示feature的个数;
当存在多个样本时,可以用一个m x n(m行n列)的矩阵X(大写字母)来表示:

X=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x(1)1x(2)1⋮x(m)1x(1)2x(2)2⋮x(m)2……⋱…x(1)nx(2)n⋮x(m)n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥X=[x1(1)x2(1)…xn(1)x1(2)x2(2)…xn(2)⋮⋮⋱⋮x1(m)x2(m)…xn(m)]

2.3 训练集中因变量的表示方法

无论是单因素还是多因素,每一个样本中都只包含一个因变量(y),因此只需要区分不同样本间的y,y(1), y(2), ..., y(m),其中m表示样本的个数;

用列向量y表示为:

y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜y(1)y(2)⋮y(m)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟y=(y(1)y(2)⋮y(m))

3. 参数的表示

也许是某种约定,在机器学习中,一般都是用θ来表示参数,参数是自变量X的参数(也可以看做是每个自变量的权重,权重越大的自变量对y的影响也越大),理论上,有多少个自变量就有多少个参数,但就像在直线方程y = ax + b中表现出来的那样,除了x的参数a,还有一个常数项b。因此参数一般比自变量的个数多一个,当有n个自变量的时候,会有n+1个参数。

最终的模型是由一个特定的方程来表示的,在训练模型的过程中,确定了这个方程中的未知参数。这些参数对于所有的样本都是相同的,例如第一个样本x(1)中的第一个自变量x1的参数与任意其他样本x(i)中第一个自变量x1的参数是相同的。因此不用区分样本间的参数,只用区分不同自变量之间的参数,可以使用一个n+1维的列向量θ来表示所有的参数:

θ=⎛⎝⎜⎜⎜⎜θ0θ1⋮θn⎞⎠⎟⎟⎟⎟θ=(θ0θ1⋮θn)

4. 模型的表示

这里说的模型就是一个特定的函数,上面已经提过,模型一般使用h来表示。下面用线性回归模型来举例说明模型的符号表示。

4.1 直接表示

直接表示方法是我们在没有学习线性代数之前的代数表示方式。

单变量线性回归方程:
hθ(x)=θ0+θ1xhθ(x)=θ0+θ1x

多变量线性回归方程:
hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+…+θnxnhθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3+…+θnxn

参考:https://www.coursera.org/learn/machine-learning
转自: Aaron_L

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